เว็บไซต์การเรียนรู้ ประภัสรา โคตะขุน: เรียนพีชคณิตกับ khanacademy.

27 พฤษภาคม 2554

เรียนพีชคณิตกับ khanacademy.

เรียนพีชคณิตกับ khanacademy.org

http://www.khanacademy.org/#algebra

จำนวนเชิงพีชคณิต

จำนวนเชิงพีชคณิต (อังกฤษ: algebraic number) คือจำนวนเชิงซ้อนที่เป็นรากของพหุนามหนึ่งตัวแปร ซึ่งพหุนามไม่เป็นศูนย์ และมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ แทนด้วยสัญลักษณ์ $\mathbb{A}$ หรือ $\mathbb{Q}$ จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเชิงพีชคณิตจะเรียกว่าจำนวนอดิศัย (transcendental number)

ตัวอย่าง

จำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นจำนวนเชิงพีชคณิต ซึ่งสามารถเขียนเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวน b กับ a และ a ต้องไม่เท่ากับศูนย์ เข้ากับนิยามดังกล่าวเพราะว่า x = − b / a เป็นรูปแบบที่มาจากสมการ ax + b = 0 (โดยทั่วไปแล้ว a หรือ b จึงเป็นจำนวนลบได้ เช่นเดียวกับ x)
จำนวนอตรรกยะบางจำนวนเป็นจำนวนเชิงพีชคณิต บางจำนวนก็ไม่เป็น
- จำนวน $\sqrt{2}$ และ $\frac{\sqrt[3]{3}}{2}$ เป็นจำนวนเชิงพีชคณิต เพราะเป็นคำตอบของสมการ x² − 2 = 0 และ 8x³ − 3 = 0 ตามลำดับ
- อัตราส่วนทองคำ φ เป็นจำนวนเชิงพีชคณิต เพราะเป็นคำตอบของสมการ x² − x − 1 = 0
- ค่าคงตัว π และ e ไม่เป็นจำนวนเชิงพีชคณิต ^[1] (ดูเพิ่มที่ ทฤษฎีบทลินเดอมันน์-ไวเออร์ชตรัสส์)
จำนวนสร้างได้ (constructible number) ซึ่งสร้างด้วยสันตรงกับวงเวียน โดยเริ่มจากความยาวหนึ่งหน่วย เช่น $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ เป็นจำนวนเชิงพีชคณิต

พีชคณิตนามธรรม

พีชคณิตนามธรรม (อังกฤษ: abstract algebra) คือสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับโครงสร้างเชิงพีชคณิต เช่น กรุป, ริง และฟิลด์. คำว่า "พีชคณิตนามธรรม" ถูกใช้เพื่อแยกแยะสาขาออกจาก พีชคณิตพื้นฐาน หรือ "พีชคณิตในโรงเรียน" ที่สอนเกี่ยวกับกฎสำหรับการจัดการสูตรและนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน

ประวัติและตัวอย่าง

เท่าที่ผ่านมาในอดีต โครงสร้างเชิงพีชคณิต มักปรากฏขึ้นพบในสาขาอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ จากนั้นจะถูกระบุในรูปแบบที่ใช้สัจพจน์ และสุดท้ายจึงกลายเป็นวัตถุที่ถูกนำมาศึกษาในพีชคณิตนามธรรม ด้วยสาเหตุนี้ พีชคณิตนามธรรมจึงมีความเชื่อมโยงอย่างสำคัญกับสาขาอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์อย่างมากมาย และเป็นวิชาที่ยากมาก
ตัวอย่างของโครงสร้างเชิงพีชคณิตที่มีตัวดำเนินการทวิภาคแค่ตัวเดียว เช่น

แมกมา,
ควอไซกรุป,
โมนอยด์, เซมิกรุป และ ที่สำคัญที่สุดคือ กรุป.

ตัวอย่างที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น เช่น

ริง และ ฟิลด์
มอดูล และ ปริภูมิเวกเตอร์
พีชคณิตการเปลี่ยนหมู่ และ พีชคณิตแบบลี (Lie algebra)
แลตทิซ และ พีชคณิตแบบบูล

พีชคณิตแบบบูล

ใน คณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ พีชคณิตแบบบูล, พีชคณิตบูลีน หรือ แลตทิซแบบบูล (อังกฤษ: Boolean algebra) คือ โครงสร้างเชิงพีชคณิตซึ่งเป็นการรวบรวมแก่นความหมายของการดำเนินการทางตรรกศาสตร์ ทฤษฏีเซต โดยชื่อพีชคณิตแบบบูลนั้นตั้งตาม จอร์จ บูลผู้พัฒนาพีชคณิตแบบนี้

ประวัติ จอร์จ บูล นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ที่มหาวิทยาลัย College Cork ผู้ที่นิยามพีชคณิตดังกล่าวขึ้นมาเพื่อเป็นส่วนหนึ่งของระบบทางตรรกศาสตร์ในกลางคริสต์ศตวรรษที่ 19 พีชคณิตแบบบูลนำเทคนิคทางพีชคณิตมาใช้กับนิพจน์ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ ในปัจจุบันพีชคณิตแบบบูลได้ถูกนำไปประยุกต์อย่างแพร่หลายในการออกแบบทางอิเล็กทรอนิกส์ ผู้ที่นำไปใช้คนแรกคือคลาวด์ อี. แชนนอน นักวิทยาศาสตร์แห่งห้องทดลองเบลล์ (Bell Laboratory) ในคริสต์ศตวรรษที่ 20 โดยนำมาใช้ในการวิเคราะห์วงจรเน็ทเวิร์คที่ทำงานต่อกันหลาย ๆ ภาค เช่น วงจรของโทรศัพท์ เป็นต้น เมื่อมีการพัฒนาวงจร คอมพิวเตอร์ขึ้นก็ได้มีการนำเอาพีชคณิตบูลีนมาใช้ในการคำนวณ ออกแบบ และอธิบายสภาวะการทำงานของสถานะวงจรภายในระบบคอมพิวเตอร์ โดยพีชคณิตบูลีนเป็นพื้นฐานสำคัญในการออกแบบวงจรตรรกของระบบดิจิตอล

นิยาม

พีชคณิตแบบบูล คือ เซต A ที่ประกอบด้วยการดำเนินการทวิภาค คือ $\land$ (AND) กับ $\lor$ (OR) , การดำเนินการเอกภาค คือ $\lnot$ / ~ (NOT) และสมาชิกคือ 0 (FALSE) กับ 1 (TRUE) ซึ่งสำหรับสมาชิก a, b และ c ของเซต A จะมีคุณสมบัติเป็นไปตามสัจพจน์เหล่านี้

สมบัติของ $\lor$	สมบัติของ $\and$	ชื่อเรียก
$a \lor (b \lor c) = (a \lor b) \lor c$	$a \land (b \land c) = (a \land b) \land c$	การเปลี่ยนหมู่
$a \lor b = b \lor a$	$a \land b = b \land a$	การสลับที่
$a \lor (a \land b) = a$	$a \land (a \lor b) = a$	absorption
$a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c)$	$a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c)$	การแจกแจง
$a \lor \lnot a = 1$	$a \land \lnot a = 0$	ส่วนเติมเต็ม

สำหรับสมาชิก a และ b ใน A มันจะมีเอกลักษณ์ดังต่อไปนี้

สมบัติของ $\lor$	สมบัติของ $\and$	ชื่อเรียก
$a \lor a = a$	$a \land a = a$	นิจพล (idempotency)
$a \lor 0 = a$	$a \land 1 = a$	มีขอบเขต (boundedness)
$a \lor 1 = 1$	$a \land 0 = 0$	มีขอบเขต (boundedness)
$\lnot 0 = 1$	$\lnot 1 = 0$	0 และ 1 เป็นส่วนเติมเต็มกัน
$\lnot (a \lor b) = \lnot a \land \lnot b$	$\lnot (a \land b) = \lnot a \lor \lnot b$	กฎเดอมอร์แกน (de Morgan's laws)
$\lnot \lnot a = a$		อวัตนาการ (involution)

ตัวดำเนินการของบูลในรูปแบบต่างๆ

ตัวดำเนินการของบูล

ตรรกศาสตร์ ทฤษฏีเซต วงจรดิจิตอล

true U (เอกภพสัมพัทธ์) 1

false $\emptyset$ (เซตว่าง) 0

$\lor$ $\cup$ +

$\land$ $\cap$ $\cdot$

ตรรกศาสตร์	ทฤษฏีเซต	วงจรดิจิตอล
true	U (เอกภพสัมพัทธ์)	1
false	$\emptyset$ (เซตว่าง)	0
$\lor$	$\cup$	+
$\land$	$\cap$	$\cdot$

การนำไปใช้

เรานำพีชคณิตแบบบูลไปใช้ในตรรกศาสตร์ได้ โดยตีความให้ 0 หมายถึง เท็จ, 1 หมายถึง จริง, ∧ แทนคำว่า และ, ∨ แทนคำว่า หรือ, และ ¬ แทนคำว่า ไม่

พีชคณิตแบบบูลที่มีสมาชิก 2 ตัวนั้น นำไปใช้ประโยชน์ในการออกแบบวงจรไฟฟ้าในงานวิศวกรรมไฟฟ้าได้ โดย 0 และ 1 แทนสถานะที่แตกต่างกันของบิตในวงจรดิจิทัล นั่นก็คือสถานะศักย์ไฟฟ้าสูงและต่ำ

Learn Algebra with khanacademy.org

Algebra

Topics covered from very basic algebra all the way through algebra II. This is the best algebra playlist to start at if you've never seen algebra before. Once you get your feet wet, you may want to try some of the videos in the "Algebra I Worked Examples" playlist.

http://www.khanacademy.org/#algebra